Задание

Ознакомься с примером решения

Дана функция f(x)=x^3-6x^2+9x+7.

Найдем:

а) критические точки функции f(x) на отрезке [-2;2];

б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [-2;2].

Решение.

а) Производная функции f(x) существует для любого x\in \R. Найдём её:

f'(x)=(x^3-6x^2+9x+7)'=3x^2-12x+9.

Найдём точки, в которых f'(x)=0. Для этого решим уравнение 3x^2-12x+9=0.

Уравнение имеет два корня: 1 и 3. Из этих чисел только число 1 является внутренней точкой отрезка [-2;2]. Поэтому x=1 — единственная критическая точка функции f(x) на отрезке [-2;2].

б) Вычислим значения функции f(x) на концах отрезка и в критической точке:

f(-2)=(-2)^3-6\cdot (-2)^2+9\cdot (-2)+7=-43;

f(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+7=11;

f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+7=9.

Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-2;2] равно 11, это значение достигается в точке x=1; наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;2] равно -43, это значение достигается в точке x=-2:

\max \limits_{[-2;2]} f(x)=f(1)=11; \min \limits_{[-2;2]} f(x)=f(-2)=-43.

Ответ: а) x=1; б) \max \limits_{[-2;2]} f(x)=11, \min \limits_{[-2;2]} f(x)=-43.