Ознакомься с примером
Найти точки экстремума функции \(f(x)=\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{4}{3}x^3\) и значения функции \(f(x)\) в этих точках.
Решение. 1) Найдём производную функции:
\(f^{\prime }(x)=\left (\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{4}{3}x^3\right )^{\prime }=x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=x^2(x-2)(x+2)\) .
Производная существует при всех \(x\) , поэтому точки экстремума находим среди стационарных точек:
\(x^2(x-2)(x+2)=0\) , \(x\_1=-2\) , \(x\_2=0\) , \(x\_3=2\) .
- Проверим, какие из найденных стационарных точек являются точками экстремума.
Методом интервалов определяем знаки производной функции на промежутках \((-\infty ;-2)\) , \((-2;0)\) , \((0;2)\) , \((2;+\infty)\) .
При переходе через точку \(x\_1=-2\) производная меняет знак с « \(+\) » на « \(-\) », поэтому \(x\_1=-2\) — точка максимума. При переходе через точку \(x\_2=0\) производная не меняет знак, значит, эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку \(x\_3=2\) производная меняет знак с « \(-\) » на « \(+\) », т. е. \(x\_3=2\) — точка минимума.
Находим значения функции в точках экстремума:
\(f(-2)=\dfrac{(-2)^5}{5}-\dfrac{4}{3}\cdot (-2)^3=4\dfrac{4}{15}\) ;
\(f(2)=\dfrac{2^5}{5}-\dfrac{4}{3}\cdot 2^3=-4\dfrac{4}{15}\) .