Ознакомься с примером

Для функции \(f (x)\) найди такую первообразную \(F(x)\) , график которой проходит через точку \(M\) :

1. \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) , \(M(-1;3)\) ;

2. \(f(x) = \sqrt{x}\) , \(M(4; 5)\) .

Решение.

1. Функция \(\dfrac{x^{p+1}}{p+1}\) — первообразная функции \(x^р\) для любого \(р \ne -1\) при \(x \gt 0\) . В частности, для функции \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\) первообразная \( F(x)\) имеет вид \(F(x)=-\dfrac{1}{x}+C\) .

По условию \(F(-1) = 3\) , т. е. \(3 = 1 + C\) , откуда \(C = 2\) и \(F(x)=2-\dfrac{1}{x}\) .

2. Одной из первообразных функции \(\sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}\) является функция \(\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1} = \dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}\) , а искомая первообразная \(F(x)\) имеет вид \(F(x) = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\) .

Так как \(F (4) = 5\) , то \(5 = \dfrac{2}{3}\cdot4^{\frac{3}{2}}+ C\) , т. е. \(5 = \dfrac{16}{3}+C\) , откуда \(C = -\dfrac{1}{3}\) , \(F(x) = \dfrac{2}{3} x\sqrt{x}-\dfrac{1}{3}\) .

Ответ:

1. \(F(x)= 2-\dfrac{1}{x}\) ;

2. \(F(x)= \dfrac{2}{3} x\sqrt{x}-\dfrac{1}{3}\) .