Основано на упр. 9, стр. 8 Биссектрисы углов BAD и ABC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажи, что угол AOB равен полусумме углов C и D. Доказательство. \angle OAB = \cfrac{1}{2} \angle, \angle OBA = \cfrac{1}{2} \angle. Тогда \angle AOB = 180 \degree - (\angle OAB + \angle OBA ) = 180 \degree - \cfrac{1}{2} (\angle BAD + \angle ABC ). По теореме о сумме углов четырёхугольника \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = \degree, \angle C + \angle D = \degree - (\angle A + \angle B ) /:2 \cfrac{\angle C + \angle D}{2} = 180 \degree - \cfrac{1}{2} (\angle A + \angle B ) = \angle AOB. Следовательно, \angle AOB = \cfrac{\angle C + \angle D}{2}.

Задание

Основанонаупр.9, стр.8

Заполнипропуски

Биссектрисыуглов \(BAD\) и \(ABC\) четырёхугольника \(ABCD\) пересекаютсявточке \(O\) .Докажи, чтоугол \(AOB\) равенполусуммеуглов \(C\) и \(D\) .

Доказательство.

\(\angleOAB=\cfrac{1}{2}\angle\) [BAD|ABC|BCD],

\(\angleOBA=\cfrac{1}{2}\angle\) [BAD|ABC|BCD].

Тогда \(\angleAOB=180\degree - (\angleOAB+\angleOBA)=180\degree - \cfrac{1}{2}(\angleBAD+\angleABC)\) .

Потеоремеосуммеугловчетырёхугольника

\(\angleA+\angleB+\angleC+\angleD=\) [240|180|360] \(\degree\) ,

\(\angleC+\angleD=\) [240|180|360] \(\degree - (\angleA+\angleB)\)

/:2

\(\cfrac{\angleC+\angleD}{2}=180\degree - \cfrac{1}{2}(\angleA+\angleB)=\angleAOB\) .

Следовательно, \(\angleAOB=\cfrac{\angleC+\angleD}{2}\) .