Основанонаупр.3, стр.14

Заполнипропуски

Докажи, чтофункция \(y\) являетсяпериодическойспериодом \(T\) , если

1. \(y=\sin\dfrac{3x}{4}, T=\dfrac{8\pi}{3}\) ;
2. \(y=\tg\dfrac{x}{3}, T=3\pi\) .

Решение:

1)Функцияопределенанавсейчисловойоси.Длялюбого \(x\) выполняетсяравенство \(y\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=\left(\dfrac{3}{4}x+2\pi\right)=\sin\dfrac{3}{4}x\) , таккак \(\sin(t+2\pi)=\sint\) длялюбого[ ].Итак, \(y\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=y(x)\) , тоесть \(T=\dfrac{8\pi}{3}\) .

2)Длялюбого[ ]изобластиопределенияфункции \(\tg\dfrac{x}{3}\) справедливоравенство \(y(x+3\pi)=\tg\dfrac{1}{3}(x+3\pi)=\tg\left(\dfrac{1}{3}x+\pi\right)=\tg\dfrac{x}{3}=y{x}\) , таккак \(\tg(t+\pi)=\tg t\) . Следовательно, функция \(\tg\dfrac{x}{3}\) являетсяпериодическойспериодом \(3\pi\) .