Основано на упр. 3, стр. 14 Докажи, что функция y является периодической с периодом T, если y = \sin \dfrac{3x}{4}, T = \dfrac{8\pi}{3}; y = \tg \dfrac{x}{3}, T = 3\pi. Решение: 1) Функция определена на всей числовой оси. Для любого x выполняется равенство y \left(x + \dfrac{8\pi}{3} \right) = \sin \dfrac{3}{4} \left( x + \dfrac{8\pi}{3}\right) = \left( \dfrac{3}{4}x + 2\pi \right) = \sin \dfrac{3}{4} x, так как \sin (t + 2\pi) = \sin t для любого . Итак, y \left(x + \dfrac{8\pi}{3} \right) = y(x), то есть T = \dfrac{8\pi}{3} . 2) Для любого из области определения функции \tg \dfrac{x}{3} справедливо равенство y(x+ 3\pi) = \tg \dfrac{1}{3}(x+ 3\pi) = \tg \left(\dfrac{1}{3} x + \pi \right) = \tg \dfrac{x}{3} = y{x}, так как \tg (t + \pi) = \tg t. Следовательно, функция \tg \dfrac{x}{3} является периодической с периодом 3\pi.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.3, стр.14

Заполнипропуски

Докажи, чтофункция \(y\) являетсяпериодическойспериодом \(T\) , если

  1. \(y=\sin\dfrac{3x}{4}, T=\dfrac{8\pi}{3}\) ;
  2. \(y=\tg\dfrac{x}{3}, T=3\pi\) .

Решение:

1)Функцияопределенанавсейчисловойоси.Длялюбого \(x\) выполняетсяравенство \(y\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{3}{4}\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=\left(\dfrac{3}{4}x+2\pi\right)=\sin\dfrac{3}{4}x\) , таккак \(\sin(t+2\pi)=\sint\) длялюбого[ ].Итак, \(y\left(x+\dfrac{8\pi}{3}\right)=y(x)\) , тоесть \(T=\dfrac{8\pi}{3}\) .

2)Длялюбого[ ]изобластиопределенияфункции \(\tg\dfrac{x}{3}\) справедливоравенство \(y(x+3\pi)=\tg\dfrac{1}{3}(x+3\pi)=\tg\left(\dfrac{1}{3}x+\pi\right)=\tg\dfrac{x}{3}=y{x}\) , таккак \(\tg(t+\pi)=\tg t\) . Следовательно, функция \(\tg\dfrac{x}{3}\) являетсяпериодическойспериодом \(3\pi\) .

Тот же тест