Основанонаупр.2, стр.14

Заполнипропуски

Докажи, чтофункция \(y=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) являетсяпериодическойспериодом \(T=\dfrac{2\pi}{5}\) .

Решение:

Функцияопределенанавсейчисловойоси.Докажи, чтодлялюбого \(x\inR\) верноравенство \(f(x+T)=f(x),\) т.е. \(\cos\left(5(x+T)+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) .Действительно, \(\cos\left(5{\left(x+\dfrac{2\pi}{5}\right)}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+2\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) , поскольку \(\cos(t+2\pi)=\cost\) при \(t\in\) [ ]

Итак, равенство \(f(x+T)=f(x)\) выполняетсядлялюбого[ ]изобластиопределения, т.е. \(T=\dfrac{2\pi}{5}\) — периодданнойфункции.