Основано на упр. 2, стр. 14 Докажи, что функция y = \cos \left(5x + \dfrac{\pi}{4} \right) является периодической с периодом T = \dfrac{2\pi}{5}. Решение: Функция определена на всей числовой оси. Докажи, что для любого x \in R верно равенство f(x+T) = f(x), т.е. \cos \left( 5(x+T) + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( 5x + \dfrac{\pi}{4} \right). Действительно, \cos \left( 5 {\left( x + \dfrac{2\pi}{5} \right)} + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left(5x+2\pi + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left(5x + \dfrac{\pi}{4} \right) , поскольку \cos (t+2\pi) = \cos t при t \in Итак, равенство f(x + T) = f(x) выполняется для любого из области определения, т. е. T = \dfrac{2\pi}{5} — период данной функции.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.2, стр.14

Заполнипропуски

Докажи, чтофункция \(y=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) являетсяпериодическойспериодом \(T=\dfrac{2\pi}{5}\) .

Решение:

Функцияопределенанавсейчисловойоси.Докажи, чтодлялюбого \(x\inR\) верноравенство \(f(x+T)=f(x),\) т.е. \(\cos\left(5(x+T)+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) .Действительно, \(\cos\left(5{\left(x+\dfrac{2\pi}{5}\right)}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+2\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) , поскольку \(\cos(t+2\pi)=\cost\) при \(t\in\) [ ]

Итак, равенство \(f(x+T)=f(x)\) выполняетсядлялюбого[ ]изобластиопределения, т.е. \(T=\dfrac{2\pi}{5}\) — периодданнойфункции.

Тот же тест