Основано на упр. 3, стр. 6
Реши задачу
Найди наибольшее и наименьшее значения функции:
- \(y = 24 \cos x + 7 \sin x + 5\) ;
- \(y = 5 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + \cos^2 x\) .
Решение.
Воспользуемся методом введения вспомогательного угла при преобразовании выражения вида \(a \cos x + b \sin x\) . Умножив и разделив выражение \(24 \cos x + 7 \sin x\) на число \(\sqrt{24^2 + 7^2} = 25\) , получим
\(24 \cos x + 7 \sin x = 25 \left( \cfrac{24}{25} \ cos x + \cfrac{7}{25} \sin x \right) = 25 \sin (x + \varphi)\) ,
где \(\sin \varphi = \cfrac{24}{25}\) , \(\cos \varphi = \cfrac{7}{25}\) . Тогда
\(y = 25 \sin (x + \varphi) + 5\) .
Так как \(-1 \le \sin (x + \varphi) \le 1\) , то \(-25 \le 25 \sin (x + \varphi) \le 25\) , откуда следует, что \(-20 \le y \le 30\) . Следовательно, наибольшее значение функции равно [ ], а наименьшее равно[ ].
Используя формулы
\(\sin^2 x = \cfrac{1 - \cos 2x}{2}\) , \(\cos^2 x = \cfrac{1 + \cos 2x}{2}\) , \(2 \sin x \cos x = \sin 2x\) ,
получаем \(y = 5 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x + \cos^2 x\) , откуда
\(y = \cfrac{5}{2} (1 - \cos 2x) + 2 \sin 2x + \cfrac{1 + \cos 2x}{2}\) ,
т.е. \(y = 3 + 2 \sin 2x - 2 \cos 2x\) .
Так как \(\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \cfrac{\pi}{4} \right)\) , то
\(y = 3 + 2 \sqrt{2} \sin \left( 2x - \cfrac{\pi}{4} \right)\) ,
откуда следует, что \(3 - 2 \sqrt{2} \le y \le 3 + 2 \sqrt{2}\) .
Следовательно, наибольшее значение функции равно \(3 + 2 \sqrt{2}\) , а наименьшее значение равно \(3 - 2 \sqrt{2}\) .
Замечание.
В общем случае нахождения множества значений функции \(y = f(x)\) сводится к тому, чтобы найти все значения \(a\) , при которых уравнение \(f(x) = a\) имеет действительные корни.