Задание

Основано на упр. 2 стр. 15

Заполни пропуски

Реши неравенство x^{2}+2ax+a^{2}-a+3\gt 0

Решение:

Найдём дискриминант квадратного уравнения x^{2} + 2ax + a^{2} - a + 3 = .

D=(2a)^{2}-4\cdot 1 \cdot (a^{2}-а+3)=4a^{2}-4a^{2}+4a-12=4a .

Если D \lt 0 (при a \lt 3), уравнение (1) не имеет корней. Схематически график функции y=x^{2}+2ax+a^{2}-a+3 (при a \lt 3) изображён на рисунке 5. Так как при любом x точки параболы лежат выше оси Оx (y\gt0), то решением исходного неравенства является любое действительное .

Если D = 0 (при a = 3), уравнение (1) имеет один корень x = -3. Решениями исходного неравенства являются все действительные числа, кроме x = (рис. 6).

Если D \gt 0 (при a \gt 3), уравнение (1) имеет два корня x_{1} = -a - \sqrt{a-3}, x_{1} = -a + \sqrt{a-3}. Очевидно, решениями исходного неравенства являются все значения x из промежутков x \lt -a - \sqrt{a-3} и x \gt -a + \sqrt{a-3} (рис. 7).

Ответ:

если a \lt 3, то решениями неравенства являются все действительные x;

если a = 3, то x \not = -3;

если a \gt 3, то x \lt -a - \sqrt{a-3} и x \gt -a + \sqrt{a-3}.