Задание
Основано на упр. 1, стр. 16.
Реши неравенство
(x-7)^6(x-3)x(x+1)^3(x^2-x+1) \gt 0.
Решение.
Так как x^2 - x + 1 \gt 0 при любом x, а знак (x + 1)^3 совпадает со знаком (x + 1) при всех x \ne -1, то множества решений исходного неравенства и неравенства (x - 7)^6(x - 3 )x(x + 1) \gt 0 совпадают. При x = 7 это неравенство неверно. Так как (x — 7)^6 \gt 0 при всех x \ne 7, то для всех x \ne 7 множество решений исходного неравенства совпадает с множеством решений неравенства (x - 3)x(x+1) \gt 0 (1)
Отметим «выколотыми» на числовой оси точку x = 7 и корни уравнения (x - 3)x(x + 1) = , т. е. точки x_1 = 3, x_2 = , x_3 = -1 (рис. 8), так как числа 3, 0, и -1 также не являются решениями строгого неравенства (1). Точки x_1, x_2, x_3 разбивают числовую ось на промежутка. При x \gt 3 все множители неравенства (1) положительны. При переходе через точки x = 3, x = 0, x = многочлен в левой части неравенства меняет свой знак, что и отмечается на рисунке 8.
Ответ: -1 \lt x \lt 0; 3 \lt x \lt 7; x \gt 7.