Задание

Основано на упр. 1, стр. 31

Заполни пропуски

С помощью определения производной найди значение производной функции f (x) в точке x, если:

f (x)=\dfrac{1}{x^2}, \space x=1;

f (x) = 3 | x + 1|, \space x = -2.

Решение:

Составим разностное отношение \dfrac{f (x+h) - f (x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1} {(x+h)^2} - \dfrac{1}{x^2}}{h} и найдём его предел при x = 1 и h \rarr 0:

\lim\limits_{h \rarr 0} \dfrac{\dfrac{1}{(1+h)^2} - 1}{h} = \lim\limits_{h \rarr 0} \dfrac{-2h-h^2}{h(1+h)^2} = - \lim\limits_{h \rarr 0} \dfrac{2+h}{(1+h)^2} = .

Составим разностное отношение \dfrac{f (x+h) - f(x)} {h} = \dfrac{3|(x+h) + 1|-3| x+1/} {h} и найдём его предел при x = -2 и h \rarr 0:

\dfrac{3|-2+h+1|-3|-2+1|}{h} = \lim\limits_{h \rarr 0} \dfrac{3|h-1|-3}{h} = \lim\limits_{h \rarr 0} \dfrac{3-3h-3}{h} = .