Основано на Примере с решением 2 стр. 46

Выбери верный ответ

Найди наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=\dfrac {\sin^6x+\cos^6x}{\sin^4x+\cos^4x}\) .

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими тождествами, получим

\(\sin^4x+\cos^4x=\sin^2x+\cos^2x-2\sin^2x \cos^2x=\) [ \(=1+\dfrac{1}{2}\sin^22x\) | \(=1+\sin^22x\) | \(=1-\dfrac{1}{2}\sin^22x\) ],

\(\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)\cdot(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x)=\) [ \(=1+\sin^2x\) | \(=1-\dfrac{3}{4}\sin^2x\) | \(=1-\sin^2x\) ].

Положим \(t=\sin^22x\) . Тогда

\(f(x)=\dfrac{1-\frac{3}{4}t}{1-\frac{1}{2}t}=\dfrac{3t-4}{2(t-2)}=\dfrac{(3t-6)+2}{2(t-2)}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{t-2}\) ,

где \(0 \leqslant t \leqslant 1\) . Функция \(y=\varphi(t)=\dfrac{1}{t-2}\) , график которой изображён на рисунке 46, убывает на отрезке \([0; 1]\) , и потому \(\varphi(1) \leqslant \varphi(t) \leqslant \varphi(0)\) , т. е. \(-1 \leqslant \varphi(t) \leqslant -\dfrac{1}{2}\) , откуда следует, что \(\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant 1\) .

Ответ: \(1\) и \(\dfrac{1}{2} \) .