Основано на Примере с решением 1 стр. 45

Выбери верные ответы

Найди наибольшее и наименьшее значения функции

\(f(x)=\dfrac {1}{\sin^2x+\cos x+2}\) .

Решение.

Пусть \(t=\cos x\) , тогда \(|t|\) [ \(\le 1\) | \(\ge 1\) ]и \(f(t)=\dfrac{1}{\varphi(t)}\) , где \(\varphi(t)=1-t^2+t+2=3-t^2+t=\dfrac{13}{4}-\left(t-\dfrac{1}{2} \right)^2\) .

На рисунке 45, где изображён график функции \(y=\varphi(t)\) , на отрезке [ \([0; 1]\) | \([-1; 1]\) | \([-1; 1/2]\) ] видно, что \(\varphi(-1) \le \varphi(t) \le \varphi \left( \dfrac{1}{2} \right)\) , т. е. \(1 \le \varphi(t) \le \dfrac{13}{4}\) . Следовательно, \(\dfrac{4}{13} \le \dfrac{1}{\varphi(t)} \le 1\) , т. е. \(\dfrac{4}{13} \le f(x) \le 1\) .

Ответ: \(1\) и \(\dfrac{4}{13} \) .