Найди площадь треугольника

Найди площадь треугольника \(ABC\) , если его периметр равен \(60\) см, а радиус \(r\) вписанной окружности равен \(4\) см.

Решение.

Соединим центр окружности с вершинами треугольника и точками \(H, \space M\) и \(E\) касания сторон треугольника и окружности. Так как радиус, проведённый в точку [пересечения|касания|соединения|окружности], перпендикулярен к касательной, то \(OH \perp\) [ \(AC\) | \(BC\) | \(AB\) | \(AE\) ], следовательно, отрезок \(OH\) — [медиана|хорда|биссектриса|высота] треугольника \(AOC\) . Аналогично отрезок \(OM\) — высота [окружности|треугольника|трапеции|касательной] \(BOC\) , отрезок \(OE\) — [медиана|хорда|высота|биссектриса] треугольника [ \(AOB\) | \(AOC\) | \(ABC\) | \(BOC\) ]. Поэтому \(S\_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot\) [ \(AE\) | \(BE\) | \(OH\) | \(OE\) ]. Аналогично \(S\_{BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot\) [ \(AM\) | \(OM\) | \(OE\) | \(OH\) ] и \(S\_{AOC} = \frac{1}{2} AC \cdot\) [ \(OB\) | \(OM\) | \(OA\) | \(OH\) ].

Итак, \(S\_{ABC} = S\_{AOB} + S\_{BOC} +\) [ \(S\_{HME}\) | \(S\_{AOE}\) | \(S\_{AME}\) | \(S\_{AOC}\) ] \(= \frac{1}{2} (AB \cdot OE + BC \cdot\) [ \(OB\) | \(OM\) | \(OA\) | \(OH\) ] \(+\) [ \(AC \cdot OB\) | \(AB \cdot OH\) | \(AC \cdot OH\) | \(AB \cdot AC\) ] \() = \frac{1}{2} (AB \cdot r + BC \cdot r +\) [ \(AE \cdot r\) | \(CH \cdot r\) | \(HB \cdot r\) | \(AC \cdot r\) ] \() = \frac{1}{2} (AB+\) [ \(BC\) | \(BE\) | \(BO\) | \(BH\) ] \(+AC)r = \frac{1}{2} P\_{ABC} \cdot\) [ \(D\) | \(r\) | \(p\) | \(AB\) ] \(= \frac{1}{2} \cdot\) [ ] \(\cdot\) [ ] \(=\) [ ] см \(^2\) .

Ответ:[ ] см \(^2\) .