Задание

На основе упражнения 87 (стр. 65)

Докажите утверждение

Если все ребра четырёхугольной пирамиды равны между собой, то данная пирамида правильная

Доказательство:

1. Стороны четырёхугольника ABCD — основания пирамиды MABCD — между собой, следовательно, этот четырёхугольник является .

2. Боковые рёбра прамиды между собой, поэтому около её основания можно описать окружность. Но ромб, вписанный в окружность, является , а точка O пересечения диагоналей является его центром.

3. В треугольнике AMC \space AM MC, \space AO OC, следовательно, MO AC.

Аналогично в треугольнике BMD \space MO BD. Поэтому отрезок MO — к плоскости основания пирамиды (перпендикулярность прямой и плоскости).

Итак, основание пирамиды —, т.е. правильный четырёхугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды. В соответствии с определением, пирамида , что и требовалось доказать.