Задание

Выполни задание

Какие из точек A(2;-1;-3), B(5;-3;-3), C(1;-1;-1), E(2;-2;-1), H(2;1;-9) лежат в одной плоскости?

Решение.

Если векторы \vec{AB}, \vec{AC} и \vec{AE} компланарны, то точки A, B, _____ и E _____ в одной плоскости, а если не компланарны, то точки A, B, _____ и __________ в одной _____.

1) Найдём координаты этих векторов: \vec{AB} {3; \dots; \dots}, \vec{AC} {\dots; 0; \dots}, \vec{AE} { \dots; \dots; 2}. Три вектора \vec{AB}, \vec{AC} и \vec{AE} компланарны, если один из них _____ разложить по двум другим, т. е. если существуют _____ x и y, такие, что \vec{AB} = _____ +y\vec{AE}. Запишем это равенство в координатах:

\begin{cases} 3=1x+\dots y \\ -2=\dots \\ 0=\dots \end{cases}

Из двух первых уравнений системы получаем x = _____ и y= _____. Подставим эти значения в третье уравнение: 0=-3\cdot 2+ _____. Это равенство неверно, поэтому векторы \vec{AB}, _____ и \vec{AE} _____, и, значит, точки A, B, C и _____ в одной плоскости.

2) Выясним, компланарны ли векторы \vec{AB}, \vec{AC} и \vec{AH}: \vec{AB} {3;-2; \dots}, \vec{AC} {\dots;0;2}, \vec{AH} {\dots; \dots; \dots}.

\begin{cases} 3=-x+\dots \\ -2=\dots \\ 0=2x-6y \end{cases}

Из двух первых _____ системы получаем x= _____ и y= _____. Подставим эти значения в третье уравнение: _____=_____. Последнее равенство _____, поэтому векторы \vec{AB} , \vec{AC} и __________, и, следовательно, точки A, B, C и __________ в одной плоскости.