Изучи доказательство и выбери верные ответы
Дано:
многоугольник с \(S\_{мн-ка}\) и \(S\_{проекции}\) .
угол между многоугольником и плоскостью проекции \(\alpha\) .
Доказать:
\(S\_{проекции}=S\_{мн-ка} \cdot \cos \alpha\) .
Доказательство.
Частный случай:
- Многоугольник — треугольник.
- Одна из сторон треугольника параллельна плоскости проекции.
- Рассмотрим плоскость, которая параллельна плоскости проекции и содержит сторону треугольника.
- \(ABC\_1\)
- \(ABC\)
- \(CH\)
- \(C\_1H\)
- \(C\_1H \perp AB\)
- \(CHC\_1\)
- \(S\_{мн-ка}\)
\(CC\_1 \perp \beta\) поэтому треугольник [ ] является проекцией треугольника [ ].
[ ] — высота треугольника \(ABC\) .
Отрезок [ ] — проекция наклонной \(CH\) на плоскость \(\beta\) .
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах [ ].
Угол [ ] — является углом между многоугольником и плоскостью проекции и равен \(\alpha\) .
\(C\_1H=CH \cdot \cos\alpha\) из прямоугольного треугольника \(CHC\_1\) .
\(S\_{проекции}=\dfrac{1}{2} \cdot C\_1H \cdot AB= \dfrac{1}{2}CH \cdot \cos\alpha \cdot AB=\) [ ] \(\cdot \cos \alpha\) .
Что и требовалось доказать.