Заполни пропуски в доказательстве

Докажи теорему о пересечении медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении \(2:1\) , считая от вершины треугольника.

Доказательство.

На рисунке \(а\) медианы \(AA\_1\) и \(BB\_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\) . Докажем, что медиана \(CC\_1\) также проходит через точку \(M\) и \(\dfrac{BM}{MB\_1}=\) [ ] \(=\) [ ] \(=\) [ ]. Проведём \(B\_1K\parallel AA\_1\) . Так как \(AB\_1=\) [ \(AB\) | \(AM\) | \(B\_1C\) ], то по теореме Фалеса \(A\_1K=\) [ ], т. е. \(\dfrac{A\_1C}{A\_1K}=\) [ ]. Поскольку \(BA\_1=\) [ \(AB\) | \(A\_{1}C\) | \(BM\) ] , то \(\dfrac{BA\_1}{A\_1K}=\) [ ]. По теореме о [параллельности прямых |пропорциональных отрезках|средней линии треугольника ] \(\dfrac{BM}{MB\_1}=\) [ ] \(=\) [ ].

Таким образом, медиана \(AA\_1\) , пересекая медиану \(BB\_1\) , делит её в отношении[ ] \(:\) [ ], считая от[вершины \(B\) |точки \(B\_1\) |точки \(M\) ].

Аналогично можно доказать, что медиана \(CC\_1\) также делит медиану \(BB\_1\) в отношении \(2:1\) , считая от вершины \(B\) (рис. \(б\) ).

А это означает, что все три медианы треугольника \(ABC\) проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану \(BB\_1\) в отношении[ ] \(:\) [ ]. То, что эта точка делит в отношении [ ] \(:\) [ ] также медианы \(AA\_1\) и [ \(BB\_1\) | \(CC\_1\) ], доказывается аналогично.