Докажи теорему Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. <img src=""> Доказательство. Пусть дан угол $AOB$ . Известно, что $OA\_1=A\_1A\_2=A\_2A\_3=A\_3A\_4=$ ..., $A\_1B\_1\parallel A\_2B\_2$ , $A\_2B\_2\parallel A\_3B\_3$ , $A\_3B\_3\parallel A\_4B\_4,$ ... . Докажем, что $OB\_1=$ [ $A\_1O$ | $B\_1B\_2$ | $B\_1B\_3$ ] $=$ [ $B\_2B\_3$ | $B\_2B\_4$ | $B\_2O$ ] $=$ [ $B\_1B\_3$ | $B\_3B\_4$ | $B\_3O$ ] $=$ ... . Предположим, что $OB\_1\ne$ [ $A\_1O $ | $B\_1B\_2$ | $B\_4O$ ]. Пусть серединой отрезка $OB\_2$ является некоторая точка $C\_1$ . Тогда отрезок $A\_1C\_1$ — средняя линия[трапеции $A\_1A\_2B\_2B\_1$ |треугольника $A\_2B\_2O$ |треугольника $A\_4B\_4O$ ]. Отсюда $A\_1C\_1 \parallel$ [ $A\_1B\_1$ | $A\_2B\_2$ | $A\_4B\_4$ ]. Значит, через точку $A\_1$ проходят две прямые, [параллельные прямой $A\_1B\_1$ |параллельные прямой $ A\_2B\_2$ |параллельные прямой $A\_4B\_4$ ], что противоречит [аксиоме параллельных прямых|свойству средней линии|теореме о равных отрезках]. Следовательно, $OB\_1 =$ [ $A\_1O$ | $B\_1B\_2$ | $B\_1B\_3$ ]. Предположим, что $B\_1B\_2\ne$ [ $ A\_1A\_2$ | $B\_2B\_3$ | $B\_2O$ ]. Пусть серединой отрезка $B\_1B\_3$ является некоторая точка $C\_2$ . Тогда отрезок $A\_2C\_2$ — средняя линия[трапеции $A\_2A\_3B\_3B\_2$ |трапеции $ A\_1A\_3B\_3B\_1$ |треугольника $A\_3B\_3O$ ]. Отсюда $A\_2C\_2 \parallel$ [ $AB$ | $ A\_3B\_3$ | $A\_4B\_4$ ]. Значит, через точку $A\_2 $ проходят две прямые,[параллельные прямой $AB$ |параллельные прямой $A\_3B\_3$ |параллельные прямой $A\_4B\_4$ ]. Мы пришли к противоречию. Следовательно, $B\_1B\_2=$ [ $A\_1A\_2$ | $B\_2B\_3$ | $B\_2O$ ]. Аналогично доказывают, что $B\_2B\_3=$ [ $B\_2B\_4$ | $B\_3B\_4$

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Докажи теорему Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть дан угол $AOB$ . Известно, что $OA\_1=A\_1A\_2=A\_2A\_3=A\_3A\_4=$ ..., $A\_1B\_1\parallel A\_2B\_2$ , $A\_2B\_2\parallel A\_3B\_3$ , $A\_3B\_3\parallel A\_4B\_4,$ ... . Докажем, что $OB\_1=$ [ $A\_1O$ | $B\_1B\_2$ | $B\_1B\_3$ ] $=$ [ $B\_2B\_3$ | $B\_2B\_4$ | $B\_2O$ ] $=$ [ $B\_1B\_3$ | $B\_3B\_4$ | $B\_3O$ ] $=$ ... .

Предположим, что $OB\_1\ne$ [ $A\_1O $ | $B\_1B\_2$ | $B\_4O$ ]. Пусть серединой отрезка $OB\_2$ является некоторая точка $C\_1$ . Тогда отрезок $A\_1C\_1$ — средняя линия[трапеции $A\_1A\_2B\_2B\_1$ |треугольника $A\_2B\_2O$ |треугольника $A\_4B\_4O$ ]. Отсюда $A\_1C\_1 \parallel$ [ $A\_1B\_1$ | $A\_2B\_2$ | $A\_4B\_4$ ]. Значит, через точку $A\_1$ проходят две прямые, [параллельные прямой $A\_1B\_1$ |параллельные прямой $ A\_2B\_2$ |параллельные прямой $A\_4B\_4$ ], что противоречит [аксиоме параллельных прямых|свойству средней линии|теореме о равных отрезках]. Следовательно, $OB\_1 =$ [ $A\_1O$ | $B\_1B\_2$ | $B\_1B\_3$ ].

Предположим, что $B\_1B\_2\ne$ [ $ A\_1A\_2$ | $B\_2B\_3$ | $B\_2O$ ]. Пусть серединой отрезка $B\_1B\_3$ является некоторая точка $C\_2$ . Тогда отрезок $A\_2C\_2$ — средняя линия[трапеции $A\_2A\_3B\_3B\_2$ |трапеции $ A\_1A\_3B\_3B\_1$ |треугольника $A\_3B\_3O$ ]. Отсюда $A\_2C\_2 \parallel$ [ $AB$ | $ A\_3B\_3$ | $A\_4B\_4$ ]. Значит, через точку $A\_2 $ проходят две прямые,[параллельные прямой $AB$ |параллельные прямой $A\_3B\_3$ |параллельные прямой $A\_4B\_4$ ]. Мы пришли к противоречию. Следовательно, $B\_1B\_2=$ [ $A\_1A\_2$ | $B\_2B\_3$ | $B\_2O$ ]. Аналогично доказывают, что $B\_2B\_3=$ [ $B\_2B\_4$ | $B\_3B\_4$ | $B\_4O$ ] и т. д.

Похожие

Тот же тест