Докажи свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. Доказательство. На рисунке отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что \dfrac{AD}{AB}= . Через точку C проведём прямую, параллельную прямой BD. Пусть проведённая прямая пересекает прямую AB в точке E. Углы 1 и равны как при параллельных прямых и и секущей ; углы 3 и равны как при параллельных прямых и и секущей . Поскольку BD — биссектриса треугольника ABC, то \angle 4=\angle . Отсюда \angle 2=\angle . Тогда треугольник CBE — с равными сторонами и . По теореме о , \dfrac{AD}{AB}= . Поскольку BE= , то \dfrac{AD}{AB}= .

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Докажи свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство.

На рисунке отрезок \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\) . Докажем, что \(\dfrac{AD}{AB}=\) [ ].

Через точку \(C\) проведём прямую, параллельную прямой \(BD\) . Пусть проведённая прямая пересекает прямую \(AB\) в точке \(E\) . Углы \(1\) и [ ] равны как [вертикальные|накрест лежащие|соответственные] при параллельных прямых [ \(AB\) | \(AD\) | \(BD\) ] и [ \(AD\) | \(AC\) | \(CE\) ] и секущей[ ]; углы \(3\) и [ ] равны как[вертикальные|накрест лежащие|соответственные] при параллельных прямых [ \(AB\) | \(AD\) | \(BD\) ] и [ \(AD\) | \(AC\) | \(CE\) ] и секущей [ ]. Поскольку \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\) , то \(\angle 4=\angle\) [ ]. Отсюда \(\angle 2=\angle\) [ ]. Тогда треугольник \(CBE\) —[равнобедренный|равносторонний|прямоугольный] с равными сторонами[ \(BC\) | \(CE\) ] и [ \(BE\) | \(CE\) ]. По теореме о[параллельных прямых|пропорциональных отрезках|средней линии], \(\dfrac{AD}{AB}=\) [ ]. Поскольку \(BE=\) [ ], то \(\dfrac{AD}{AB}=\) [ ].

Похожие

Тот же тест