Задание
Докажи первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Дано: \(\triangle ABC \) , \(\triangle A\_1B\_1C\_1 \) , \(\angle A= \angle A\_1\) , \(\angle B= \angle B\_1\)
Доказать: \(\triangle ABC \backsim \triangle A\_1B\_1C\_1\) .
Доказательство.
- По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle C= 180\degree -\angle A -\angle B \) , \(\angle C\_1= 180\degree -\angle A\_1 -\angle B\_1 \) , и, значит, \(\angle \) [ ] \( = \angle C\_1\) . Углы \(\triangle ABC \) соответственно равны углам \(\triangle A\_1B\_1C\_1 \) .
- \(\angle A= \angle A\_1\) и \(\angle С= \angle С\_1\) , то \( \dfrac{S\_{ABC}}{S\_{A\_1B\_1C\_1}}=\dfrac{AB \cdot AC}{ A\_1B\_1 \cdot A\_1C\_1} \) и \( \dfrac{S\_{ABC}}{S\_{A\_1B\_1C\_1}}=\dfrac{AC \cdot BC}{ A\_1C\_1 \cdot B\_1C\_1}\) .
Из этих равенств \(\dfrac{AB}{A\_1B\_1}=\dfrac{BC}{B\_1C\_1}\) . - \(\angle \) [ ] \(= \angle A\_1\) и \(\angle \) [ ] \(= \angle B\_1\) , то \( \dfrac{S\_{ABC}}{S\_{A\_1B\_1C\_1}}=\dfrac{AB \cdot AC}{ A\_1B\_1 \cdot A\_1C\_1} \) и \( \dfrac{S\_{ABC}}{S\_{A\_1B\_1C\_1}}=\dfrac{AB \cdot BC}{ A\_1B\_1 \cdot B\_1C\_1}\) .
Из этих равенств \(\dfrac{AC}{A\_1C\_1}=\dfrac{BC}{B\_1C\_1}\) .
Стороны \(\triangle ABC \) пропорциональны сторонам \(\triangle A\_1B\_1C\_1 \) .
Теорема доказана.