Докажи, что функция f(x)=x^2+4x убывает на промежутке (-\infty;-2]. Решение. Пусть x_1 и x_2 — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку (-\infty;-2], причём x_2\gt x_1. Рассмотрим разность f(x_2)-f(x_1). Имеем: f(x_2)-f(x_1)=(x^2_2+4x_2)-(x^2_1+4x_1)=x^2_2+4x_2-x^2_1-4x_1=(x^2_2-x^2_1)+(4x_2-4x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)+4(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1+4). Поскольку x_1\in (-\infty;-2], x_2\in (-\infty;-2] и x_2\gt x_1, то x_1\lt -2, x_2\leqslant -2. Тогда x_1+x_2 -4, x_1+x_2+4 0. Поскольку x_2\gt x_1, то x_2-x_1 0. Тогда (x_2-x_1)(x_2+x_1+4) 0. Следовательно, f(x_2)-f(x_1) 0; f(x_2) f(x_1), то есть данная функция убывает на промежутке (-\infty;-2].

Задание

Заполни пропуски

Докажи, что функция \(f(x)=x^2+4x\) убывает на промежутке \((-\infty;-2]\) .

Решение.

Пусть \(x\_1\) и \(x\_2\) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((-\infty;-2]\) , причём \(x\_2\gt x\_1\) . Рассмотрим разность \(f(x\_2)-f(x\_1)\) .

Имеем: \(f(x\_2)-f(x\_1)=(x^2\_2+4x\_2)-(x^2\_1+4x\_1)=x^2\_2+4x\_2-x^2\_1-4x\_1=(x^2\_2-x^2\_1)+(4x\_2-4x\_1)=(x\_2-x\_1)(x\_2+x\_1)+4(x\_2-x\_1)=(x\_2-x\_1)(x\_2+x\_1+4)\) .

Поскольку \(x\_1\in (-\infty;-2]\) , \(x\_2\in (-\infty;-2]\) и \(x\_2\gt x\_1\) , то \(x\_1\lt -2\) , \(x\_2\leqslant -2\) .

Тогда \(x\_1+x\_2\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(-4\) , \(x\_1+x\_2+4\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) . Поскольку \(x\_2\gt x\_1\) , то \(x\_2-x\_1\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) .

Тогда \((x\_2-x\_1)(x\_2+x\_1+4)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) .

Следовательно, \(f(x\_2)-f(x\_1)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) ; \(f(x\_2)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(f(x\_1)\) , то есть данная функция убывает на промежутке \((-\infty;-2]\) .

Похожие

Тот же тест