Доказать: V_{шара}=\dfrac{4}{3} \pi R^3, где R — радиус шара. Доказательство. На рисунке — шар с центром в точке O и произвольно выбранной осью Ox. круг окружность ONK S(x)= \pi r^2 -R \le x \le R Сечением шара, проходящим через точку K и перпендикулярным оси Ox является. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника радиус этого круга r=\sqrt{ON^2-OK^2}=\sqrt{R^2-x^2}. Для нахождения площади воспользуемся формулой= \pi (R^2-x^2). Обрати внимание,. Тогда получаем V=\displaystyle\int _{-R}^R\pi (R^2-x^2)dx= \pi R^2\displaystyle\int _{-R}^Rdx- \pi \displaystyle\int _{-R}^Rx^2dx= \pi R^2x\Big|_{-R}^R-\dfrac{ \pi x^3}{3}\Big|_{-R}^R=\dfrac{4}{3} \pi R^3. Что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполни пропуски

Доказать: \(V\_{шара}=\dfrac{4}{3} \pi R^3\) ,

где \(R\) — радиус шара.

Доказательство.

На рисунке — шар с центром в точке \(O\) и произвольно выбранной осью \(Ox\) .

  • круг
  • окружность
  • \(ONK\)
  • \(S(x)= \pi r^2\)
  • \(-R \le x \le R\)

Сечением шара, проходящим через точку \(K\) и перпендикулярным оси \(Ox\) является [ ]. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника [ ] радиус этого круга

\(r=\sqrt{ON^2-OK^2}=\sqrt{R^2-x^2}\) .

Для нахождения площади воспользуемся формулой [ ] \(= \pi (R^2-x^2)\) . Обрати внимание, [ ].

Тогда получаем

\(V=\displaystyle\int \_{-R}^R\pi (R^2-x^2)dx= \pi R^2\displaystyle\int \_{-R}^Rdx- \pi \displaystyle\int \_{-R}^Rx^2dx= \pi R^2x\Big|\_{-R}^R-\dfrac{ \pi x^3}{3}\Big|\_{-R}^R=\dfrac{4}{3} \pi R^3\) .

Что и требовалось доказать.

Тот же тест