Реши задачу
Диагонали \(АС\) и \(BD\) ромба \(ABCD\) равны соответственно \(12\) см и \(18\) см. Точки \(Т\) , \(М\) , \(К\) и \(Р\) являются серединами его сторон \(АВ\) , \(ВС\) , \(CD\) и \(AD\) . Определи вид четырёхугольника \(МКРТ\) . Вычисли его периметр.
Решение.
Рассмотрим \(\triangle BCD\) и \(\triangle ABD\) . Так как точки \(Т\) , \(М\) , \(К\) и \(Р\) являются [центрами|серединами] сторон \(АВ\) , \(ВС\) , \(CD\) и \(AD\) (по условию), то \(KM\) и \(PT\) — [центральные|средние|промежуточные][прямые|отрезки|линии] \(\triangle BCD\) и \(\triangle ABD\) соответственно (по определению).
Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) . Так как точки \(Т\) , \(М\) , \(К\) и \(Р\) являются [серединами|центрами] сторон \(АВ\) , \(ВС\) , \(CD\) и \(AD\) (по условию), то \(MT\) и \(KP\) — [центральные|промежуточные|средние][прямые|линии|отрезки] \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) соответственно (по определению).
Так как \(KM\) и \(PT\) — [средние|центральные|промежуточные][линии|отрезки|прямые] \(\triangle BCD\) и \(\triangle ABD\) (п. \(1\) ), \(BD =\) [ ] см, то \(KM\) и \(PT\) [перпендикулярны|параллельны] \(BD\) и \(KM=PT=\) [ ] \(BD=\) [ ]см (по свойству [средней|центральной|промежуточной][линии|отрезки|прямые] треугольника).
Так как \(MT\) и \(KP\) — [центральные|промежуточные|средние][отрезки|прямые|линии] \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) (п. \(2\) ), \(AC =\) [ ] см, то \(MT\) и \(KP\) [параллельны|перпендикулярны] \(AC\) и \(MT=KP=\) [ ] \(AC=\) [ ]см (по свойству [средней|центральной|промежуточной][линии|отрезки|прямые] треугольника).
Рассмотрим четырёхугольник \(МКРТ\) . Так как \(AC \perp BD\) (по свойству [параллелограмма|ромба|прямоугольника]), \(KM \parallel PT \parallel BD\) , \(KM = PT =\) [ ] см (п. \(3\) ); \(MT\parallel KP\parallel AC\) , \(MT=KP=\) [ ] см (п. \(4\) ); то \(МКРТ\) — [ромб|прямоугольник|квадрат] (по определению) и \(P\_{MKPT}=\) [ ] см.
Ответ: \(МКРТ\) — [ромб|прямоугольник|квадрат], \(P\_{MKPT}=\) [ ] см.