1) \tg^2 x = 3\tg x; 2) \tg^3 x+8 = 0; 3) 16 \tg^4 x = 1. Решение. 1) Из равенства \tg^2 x - 3\tg x = \tg x (\tg x - 3) следует, что исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений \tg x = 0 и \tg x = 3. Находим корни этих уравнений x=\pi n, x = \arctg 3 + \pi n, n \in \Z. 2) Разложив левую часть уравнения на множители, получаем \nobreak{(\tg x + 2) (\tg^2 x - 2 \tg x + 4) = 0.} Исходное уравнение равносильно уравнению \tg x = -2, так как уравнение \tg^2 x - 2 \tg x + 4 = 0 не имеет решений. Отсюда находим x = -\arctg 2 + \pi n, n \in \Z, так как \arctg (-2) = -\arctg 2. 3) Так как 16 \tg^4 x - 1 = (4 \tg^2 x - 1) (4 \tg^2 x + 1), то уравнение равносильно совокупности двух уравнений 2 \tg x = 1 и 2 \tg x = - 1, откуда находим две серии корней x = \arctg \cfrac{1}{2} + \pi n и x = -\arctg \cfrac{1}{2} + \pi n, n \in \Z, которые можно объединить в одну серию x = \pm \arctg \cfrac{1}{2} + \pi n, n \in \Z.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Реши уравнения

  1. \(\tg^2 x = 3\tg x\) ;

  2. \(\tg^3 x+8 = 0\) ;

  3. \(16 \tg^4 x = 1\) .

Решение.

  1. Из равенства \(\tg^2 x - 3\tg x = \tg x (\tg x - 3)\) следует, что исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений \(\tg x = 0\) и \(\tg x = 3\) . Находим корни этих уравнений \(x=\pi n, x = \arctg 3 + \pi n, n \in \Z\) .

  2. Разложив левую часть уравнения на множители, получаем \(\nobreak{(\tg x + 2) (\tg^2 x - 2 \tg x + 4) = 0.}\) Исходное уравнение равносильно уравнению \(\tg x = -2\) , так как уравнение \(\tg^2 x - 2 \tg x + 4 = 0\) не имеет решений. Отсюда находим \(x = -\arctg 2 + \pi n, n \in \Z\) , так как \(\arctg (-2) = -\arctg 2\) .

  3. Так как \(16 \tg^4 x - 1 = (4 \tg^2 x - 1) (4 \tg^2 x + 1)\) , то уравнение равносильно совокупности двух уравнений \(2 \tg x = 1\) и \(2 \tg x = - 1\) , откуда находим две серии корней \(x = \arctg \cfrac{1}{2} + \pi n\) и \(x = -\arctg \cfrac{1}{2} + \pi n, n \in \Z\) , которые можно объединить в одну серию \(x = \pm \arctg \cfrac{1}{2} + \pi n, n \in \Z\) .

Тот же тест