Заполни пропуски в решении
Реши уравнение: \(3\sqrt{2}\cos^2x+5\sin(\pi-x)=-\sqrt{2}\) .
Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: \([17\pi;\dfrac{37\pi}{2}]\) .
Решение.
Упростим \(\sin(\pi-x)=\) [ \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\cos^2x\) ].
Заменим \(\cos^2x\) на[ \(\sin^2x-1\) | \(1-\sin^2x\) | \(\cos^2x-1\) ].
Тогда исходное уравнение будет представлено таким образом:
\(3\sqrt{2}\,\cdot \) [ \((\sin^2x-1)\) | \((1-\sin^2x)\) | \((\cos^2x-1)\) ] \(+\,5\) [ \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\cos^2x\) ] \(=-\sqrt{2}\) .
Перенесём константу в левую часть и раскроем скобки:
\(3\sqrt{2}-3\sqrt{2} \sin^{2}x+5\sin{x}+\sqrt{2}=0\) .
Приведём подобные члены и решим уравнение методом замены переменной \(\sin x=t\) :
\(-3\sqrt{2}t^2+\) [ ] \(t\,+\) [ ] \(\sqrt{2}=0\) .
Решим уравнение, сделаем обратную замену и получим два уравнения:
\(\sin x=\dfrac{8\sqrt{2}}{6}\) ,
\(\sin x=\) [ ].
Первое уравнение [имеет|не имеет]решения в \(\R\) .
Второе уравнение имеет такие решения:
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=-\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{3\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
Решим вторую часть задания с помощью неравенств:
\(17\pi \le -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\le \dfrac{37\pi}{2} ,k\in\Z\) .
Умножим неравенство на 4, разделим на \(\pi\) и прибавим \(1\) к каждой части неравенства:
\(\) [ ] \(\le8k\le\) [ ] \(,k\in\Z\) .
Получим, что \(k=\) [ ]. Подставим найденное значение \(k\) в выражение \({-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}\) и найдём искомый корень:
\(x=\) [ ].
Теперь решим неравенство со второй серией точек \(\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi\) , \(k\in\Z\) :
\(17\pi \le \dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\le \dfrac{37\pi}{2} ,k\in\Z\) .
Следовательно, \(k=\) [ ], соответствующее ему \(x=\) [ ].