Заполни пропуски в доказательстве теоремы

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть дан угол \(AOB\) . Известно, что \(OA\_1=A\_1A\_2=A\_2A\_3=A\_3A\_4=...\) , \(A\_1B\_1\parallel A\_2B\_2\) , \(A\_2B\_2\parallel A\_3B\_3\) , \(A\_3B\_3\parallel A\_4B\_4\) , \(...\) . Докажем, что \(OB\_1=B\_1B\_2=B\_2B\_3=B\_3B\_4=...\) .

Предположим, что \(OB\_1\ne B\_1B\_2\) . Пусть серединой отрезка \(OB\_2\) является некоторая точка \(C\_1\) . Тогда отрезок \(A\_1C\_1\) является средней линией треугольника [ ]. Отсюда \(A\_1C\_1\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) | \(\cap\) ] \(A\_2B\_2\) . Значит, через точку \(A\_1\) проходят две прямые, параллельные прямой \(A\_2B\_2\) , однако согласно аксиоме параллельных прямых две различные параллельные прямые не могут иметь общих точек. Получили противоречие, следовательно, \(OB\_1=\) [ ].

Не ограничивая общности, положим, что \(B\_1B\_2\ne B\_2B\_3\) . Пусть точка \(C\_2\) — середина отрезка \(B\_1B\_3\) . Тогда отрезок \(A\_2C\_2\) — средняя линия трапеции \(A\_3A\_1B\_1B\_3\) . Следовательно, \(A\_2C\_2\parallel A\_3B\_3\) . Значит, через точку \(A\_2\) проходят две прямые, параллельные прямой \(A\_3B\_3\) , что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, \(B\_1B\_2=B\_2B\_3\) .