Заполни пропуски

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: \(\triangle PQM\) , \(\triangle P\_1M\_1Q\_1\) ; \(\angle P=\angle P\_1\) ; \(\dfrac{PM}{P\_1M\_1}=\dfrac{PQ}{P\_1Q\_1}\) .

Доказать: \(\triangle PQM\) подобен \(\triangle P\_1M\_1Q\_1\) .

Доказательство.

Построим \(\triangle PMQ\_2\) , у которого \(\angle 1=\angle P\_1\) , \(\angle 2=\angle M\_1\) .

\(\triangle PMQ\_2\) подобен \(\triangle P\_1M\_1Q\_1\) (по первому признаку подобия треугольников), значит, [ ] \(=\) [ ]. \(\dfrac{PM}{P\_1M\_1}=\dfrac{PQ}{P\_1Q\_1}\) (по условию). Значит, \(\nobreak{PQ=PQ\_2}\) .

\(\triangle PQM =\triangle PQ\_2M\) по [первому|второму|третьему] признаку, так как:

• \(PM\) — общая;
• \(PQ=PQ\_2\) ;
• \(\angle QPM=\angle\) [ ], так как, \(\angle 1=\angle P\_1\) и \(\angle P=\angle P\_1\) .

Так как \(\triangle PQM=\triangle PMQ\_2\) , то \(\angle M=\angle\) [ ]. Так как \(\angle 2=\angle\) [ ] , то \(\angle M=\angle M\_1\) .

Так как \(\angle P=\angle P\_1\) , \(\angle M=\angle M\_1\) , то \(\triangle PQM \) подобен \(\triangleP\_1M\_1Q\_1 \) (по [первому|второму|третьему] признаку подобия треугольников).