Впиши верные ответы

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для любого треугольника существует такая окружность, что все три вершины треугольника расположены на ней.

А можно ли то же самое сказать о четырёхугольнике? Правда ли, что всегда существует окружность, на которой будут находиться все четыре вершины четырёхугольника?

Нет. Должно выполняться важное условие:

четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \(180\degree \) .

Доказательство.

1. Построим произвольную окружность \(\alpha \) .
2. Отметим на ней произвольно четыре точки таким образом, чтобы никакие \(2\) из них не совпадали друг с другом.
3. Построим четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в выбранных нами точках.
4. Рассмотрим углы \(DAB\) и \(BCD\) получившегося четырёхугольника \(ABCD\) , вписанного в окружность \(\alpha \) . Угол \(DAB\) является вписанным углом окружности, следовательно, он равен половине дуги \(BCD\) . Аналогично угол \(BCD\) равен половине дуги \(BAD\) . Но вместе дуги \(BCD\) и \(BAD\) составляют окружность, следовательно, \(\smile BCD+\smile BAD=\) [ ] \(\degree \) . Получаем, что \(\angle DAB+\angle BCD=\) [ ] \(\degree \) .
5. Равенство суммы двух других углов \(180\) градусам можно доказать двумя способами.

Первый способ. Сумма углов четырёхугольника равна [ ] \(\degree \) . Но если два из них в сумме равны [ ] \(\degree \) , то два других равны \(360\degree-180\degree=\) [ ] \(\degree \) .

Второй способ. Выбираем углы \(ABC\) и \(CDA\) и доказываем по аналогии с пунктом \(3\) .