Восстановите текст, расположив его части в правильном порядке. Придумайте вариант названия, который наиболее полно раскрывает основную мысль текста. Существует ли позиционная система счисления с иррациональным основанием, в которой все натуральные числа записываются конечным числом цифр? В которой число больше единицы, не имеющее цифр после запятой, наверняка не целое и даже не рациональное? В которой 1 + 10 = 100, а 1 + 1 = 10.01? \[\Phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\] Зовётся она системой Бергмана, или системой счисления с основанием Φ (читается как «фи», это буква греческого, а не русского алфавита). Число Φ, называемое также золотым числом или постоянной золотого сечения, имеет формулу, представленную в начале. Данная система счисления — это обычная позиционная система счисления с необычным основанием. Если в общеупотребительной десятичной системе счисления каждая цифра соответствует некоторой степени десятки (123 = 1∙10^2 + 2∙10^1 + 3∙10^0), а в двоичной — некоторой степени двойки (101 = 1∙2^2 + 0∙2^1 + 1∙2^0), то в системе Бергмана, в которой, как и в двоичной, есть только цифры 0 и 1, каждая единица символизирует некоторую степень числа Ф. Джордж Бергман, матеметик-алгебраист, профессор Калифорнийского университета в Беркли. Он родился в Бруклине в 1943 году, а четырнадцать лет спустя, когда у него ещё не было ни бороды, ни докторской степени, но уже имелось воображение и интерес к абстрактной алгебре, опубликовал статью в Mathematics Magazine, в которой описал открытую им систему счисления (сам он называл её «тау-система»), её основные свойства и правила арифметических действий в ней. В своей статье он с достойной уважения скромностью признался, что «не видит никакого полезного применения для систем счисления, подобных этой, помимо развлечения и зарядки для ума». Время показало, однако, что в своей оценке он был не вполне прав. Чтобы понять значение этого открытия для истории математики, необходимо напомнить, что в течение многих тысячелетий, начиная с Вавилонской 60-ричной системы счисления, наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, основанием которых является некоторое натуральное число (60 — в Вавилонской 60-ричной системе счисления, 10 — в десятичной системе, 2 – в двоичной системе). Все остальные числа (в частности, дробные как отношения двух натуральных чисел и даже иррациональные как пределы отношений натуральных чисел) выражались через основание системы (натуральное число) с помощью таких систем счисления. Этим негласно подчеркивалась главенствующая роль натуральных чисел в математике и человеческой практике. И это полностью соответствовало основной доктрине пифагорейцев «Все есть число», потому что в этом высказывании речь шла, прежде всего, о натуральных числах и их отношениях. Система счисления Бергмана переворачивает все наши представления о системах счисления. В этой системе счисления «главным числом», «числом-генератором» и «основанием» всех чисел является «золотая пропорция», а все остальные числа, включая натуральные, дробные и иррациональные, как было показано Бергманом, могут быть представлены через «золотую пропорцию» в виде суммы. Уже этих рассуждений достаточно, чтобы отнести открытие Бергмана к разряду «стратегических» математических открытий. Согласно открытию Бергмана, на передний план выдвигается «золотая пропорция», а все остальные числа сводятся к «золотой пропорции». Мы можем сделать следующее смелое утверждение: возможно, система счисления Бергмана является наиболее крупным математическим открытием в теории систем счисления после открытия вавилонянами «позиционного принципа представления чисел», открытия древними китайцами «двоичной системы счисления», лежащей в основе современных компьютеров, и открытия древними индусами «десятичной системы счисления»! К сожалению, как это часто бывало в математике (вспомним Лобачевского, Абеля или Галуа), современные математики оказались неспособными оценить историческое значение системы счисления Бергмана для развития теории чисел (да и сам Бергман не сумел этого понять).
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Восстановите текст, расположив его части в правильном порядке. Придумайте вариант названия, который наиболее полно раскрывает основную мысль текста.

  • Существует ли позиционная система счисления с иррациональным основанием, в которой все натуральные числа записываются конечным числом цифр? В которой число больше единицы, не имеющее цифр после запятой, наверняка не целое и даже не рациональное? В которой 1 + 10 = 100, а 1 + 1 = 10.01?

  • \[\Phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\]

    Зовётся она системой Бергмана, или системой счисления с основанием Φ \(читается как «фи», это буква греческого, а не русского алфавита\). Число Φ, называемое также золотым числом или постоянной золотого сечения, имеет формулу, представленную в начале.

  • Данная система счисления — это обычная позиционная система счисления с необычным основанием. Если в общеупотребительной десятичной системе счисления каждая цифра соответствует некоторой степени десятки \(123 = 1∙10^2 \+ 2∙10^1 \+ 3∙10^0\), а в двоичной — некоторой степени двойки \(101 = 1∙2^2 \+ 0∙2^1 \+ 1∙2^0\), то в системе Бергмана, в которой, как и в двоичной, есть только цифры 0 и 1, каждая единица символизирует некоторую степень числа Ф.

  • Джордж Бергман, матеметик-алгебраист, профессор Калифорнийского университета в Беркли. Он родился в Бруклине в 1943 году, а четырнадцать лет спустя, когда у него ещё не было ни бороды, ни докторской степени, но уже имелось воображение и интерес к абстрактной алгебре, опубликовал статью в Mathematics Magazine, в которой описал открытую им систему счисления \(сам он называл её «тау\-система»\), её основные свойства и правила арифметических действий в ней. В своей статье он с достойной уважения скромностью признался, что «не видит никакого полезного применения для систем счисления, подобных этой, помимо развлечения и зарядки для ума». Время показало, однако, что в своей оценке он был не вполне прав.

  • Чтобы понять значение этого открытия для истории математики, необходимо напомнить, что в течение многих тысячелетий, начиная с Вавилонской 60-ричной системы счисления, наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, основанием которых является некоторое натуральное число \(60 — в Вавилонской 60\-ричной системе счисления, 10 — в десятичной системе, 2 – в двоичной системе\). Все остальные числа \(в частности, дробные как отношения двух натуральных чисел и даже иррациональные как пределы отношений натуральных чисел\) выражались через основание системы \(натуральное число\) с помощью таких систем счисления. Этим негласно подчеркивалась главенствующая роль натуральных чисел в математике и человеческой практике. И это полностью соответствовало основной доктрине пифагорейцев «Все есть число», потому что в этом высказывании речь шла, прежде всего, о натуральных числах и их отношениях.

  • Система счисления Бергмана переворачивает все наши представления о системах счисления. В этой системе счисления «главным числом», «числом-генератором» и «основанием» всех чисел является «золотая пропорция», а все остальные числа, включая натуральные, дробные и иррациональные, как было показано Бергманом, могут быть представлены через «золотую пропорцию» в виде суммы. Уже этих рассуждений достаточно, чтобы отнести открытие Бергмана к разряду «стратегических» математических открытий. Согласно открытию Бергмана, на передний план выдвигается «золотая пропорция», а все остальные числа сводятся к «золотой пропорции».

  • Мы можем сделать следующее смелое утверждение: возможно, система счисления Бергмана является наиболее крупным математическим открытием в теории систем счисления после открытия вавилонянами «позиционного принципа представления чисел», открытия древними китайцами «двоичной системы счисления», лежащей в основе современных компьютеров, и открытия древними индусами «десятичной системы счисления»! К сожалению, как это часто бывало в математике \(вспомним Лобачевского, Абеля или Галуа\), современные математики оказались неспособными оценить историческое значение системы счисления Бергмана для развития теории чисел \(да и сам Бергман не сумел этого понять\).

Тот же тест