В треугольнике ABC: I — центр вписанной окружности, точка M лежит на стороне BC, причем ∠BIM = 90◦ . Докажите, что расстояние от точки M до прямой AB равно диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC.

Первый способ.
Пусть N и K — основания ... , проведенных к прямой AB из точек I и M соответственно. Докажем, что MK = 2IN. Обозначим через L точку пересечения прямых MI и AB. Тогда треугольник MBL — ... , так как его ... . Следовательно, MI = IL. Учитывая параллельность ... , получим, что в треугольнике MLK отрезок IN является средней линией. Следовательно, MK = 2NI, что и требовалось.
Второй способ.
Пусть прямая, проходящая через точку M и параллельная AB, пересекает прямую BI в точке P. Тогда треугольник ... и MI — ... угла PMB. Следовательно, точка I равноудалена от прямых MP и MB, то есть прямая MP является ... к вписанной окружности треугольника ABC. Тогда ... между прямыми MP и AB равно ... окружности, что и требовалось.