Задание
.
В прямой призме \(ABC A_1 B_1 C_1\) \(\angle ACB = 90^\circ.\) На рёбрах призмы отметили две точки: \(M \in B_1C_1, \, N \in AC, \, B_1M \, = \, MC_1,\) \(AN\) \(:\) \(NC\) \(=\) \(3\) \(:\) \(1\). Известно, что \(AA_1 = 20; NC = 10\).
а) Докажи, что \(MN \perp CA_1\).
б) Найди угол между прямой \(MN\) и плоскостью основания \(A_1B_1C_1\), если \(\sin \angle CBA = \frac{3}{5}\).
Решение
а) Некоторые утверждения и этапы доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек).
Варианты ответов:
\[CA_{1}\]
\[C_1 N\]
\[A_1B_1\]
\[B_1C_1\]
\[AB\]
\[BC\]
\[AC\]
\[\begin{aligned} MN \perp CA_1 &\Leftrightarrow \square \perp CA_1; \\ \angle ACA_1 &= \angle C\square. \end{aligned}\]
б) Угол между прямой \(MN\) и плоскостью основания \(A_1B_1C_1\) равен
\[\arctan{\frac{6}{\sqrt{\square}}}\]
.