Задание

Заполни пропуски в решении и запиши ответ

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. Все боковые рёбра пирамиды равны. Секущая плоскость \alpha параллельна BC, проходит через середину SA и пересекает ребро CD в точке N.

Докажи, что сечение пирамиды SABCD плоскостью \alpha является равнобедренной трапецией.

Найди площадь сечения, если объём пирамиды SABCD равен 2560\sqrt{6}, BC=8\sqrt{6}, площадь основания равна 160\sqrt{6}, CN:ND=3:1.

Решение.

Обозначим L — середину SA.

Плоскость \alpha проходит через N по условию, обозначим NK=\alpha\cap ABC. Так как BC||\alpha, BC\subset ABC, то NK||BC (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей и прямая параллельны).

Так как AD||BC, BC||\alpha, то AD||\alpha.

Аналогично \alpha проходит через L по условию, обозначим LM=\alpha\cap SAD. Так как AD||\alpha, AD\subset SAD, то LM||AD (если плоскость, в данном случае SAD, проходит через прямую, в данном случае это AD, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей и прямая параллельны). Отсюда также следует, что M — середина SD.

Мы доказали, что NK||BC, LM||AD. Так как AD||BC, то LM||BC. Поскольку две прямые, параллельные третьей, параллельны, то LM||NK. Следовательно, четырёхугольник KLMN — трапеция. Равнобедренность следует из равенства треугольников DNM и .

Первый пункт задачи доказан.

Найдём основания равнобедренной трапеции KLMN.

NK=BC=8\sqrt{6}, LM=\cfrac{1}{2}AD=4\sqrt{6}.

Вторая сторона основания пирамиды CD=S_{ABCD}:BC=160\sqrt{6}:8\sqrt{6}= .

Так как все боковые рёбра пирамиды равны по условию, основание высоты совпадает с центром описанной вокруг основания окружности, то есть с точкой пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Обозначим эту точку H, тогда SH — высота.

Найдём SH:

SH=3V_{SABCD}:S_{ABCD}=3\cdot 2560\sqrt{6}:160\sqrt{6}= .

Из прямоугольного треугольника SAH найдём боковое ребро:

SA=\sqrt{SH^2+AH^2}= .

Из треугольника SCD по теореме косинусов найдём \cos \angle SDC=\cfrac{1}{5}.

Так как CN:ND=3:1 и CD=20, то ND=\cfrac{CD}{4}=5.

В треугольнике MDN мы знаем, что ND=5, MD=\cfrac{SD}{2}, \cos\angle MDN=\cos\angle SDC=\cfrac{1}{5}, поэтому мы можем с помощью теоремы косинусов найти MN= .

Мы нашли все стороны равнобедренной трапеции KLMN, далее с помощью теоремы Пифагора найдём высоту этой трапеции. Она равна . Остаётся только найти площадь сечения и записать ответ.

Ответ: площадь сечения равна .