Запиши ответ

Упрости выражение \( A= –(x+2\sqrt{x–1})^{-\dfrac{1}{2}} –(x-2\sqrt{x–1})^{-\dfrac{1}{2}}\) – при \(x \ge 1\) , \(x\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}2\) .

Решение. Так как в степень с дробным отрицатель ным показателем можно возводить только положительные числа, проверим, будет ли каждое из оснований степеней числом положительным. Так как \(x \ge 1\) , то основа ние степени первого слагаемого положительно, а знак основания степени второго слагаемого будет совпадать со знаком произведения:

\((x + 2\sqrt{x–1}) (x – 2\sqrt{x–1}) = x^{2} – 4x + 4 = (x – 2)^{2} \gt 0\) (по условию \(x\kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em}2\) ). Кроме того, \(A \lt 0\) . По определению степени с дробным отрицательным показателем \(A = - \dfrac{1}{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}} -\dfrac{1}{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}\) .

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем A в квадрат, получим: \(A^{2} = \dfrac{1}{x+2\sqrt{x-1}} + \dfrac{2}{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}} = \dfrac{2x}{x^{2}-4x+4} + \dfrac{2}{\sqrt{x^{2}-4x+4}} = \dfrac{2x}{(x-2)^{2}} + \dfrac{2}{\sqrt{(x-2)^{2}}} = \) [ ].

Рассмотрим два случая:

1. \(1 \le x \lt 2\) ;

2. \(x \gt 2\) .

3. \(A^{2} = \dfrac{2x}{(x-2)^{2}} - \dfrac{2}{(x-2)} = \) [ ];

4. \(A^{2} = \dfrac{2x}{(x-2)^{2}} + \dfrac{2}{(x-2)} = \) [ ].

Найдем выражения для \(A\) в каждом из этих случаев:

1. Так как \(|A| = \dfrac{2}{|x-2|}, A \lt 0\) и \(x – 2 \lt 0,\) то \(A = \) [ ].

2. Так как \(|A| = \dfrac{2\sqrt{x-1}}{|x-2|}\) , где \(x \gt 2\) и \( A\lt0\) то \(|x-2| =\) [ ] и \(A = \) [ ].

Ответ:

\(A = \) [ ], если \(1 \le x \lt 2\) ;

\(A = \) [ ], если \(x \gt 2\) .