Заполни пропуски

Точка \(D \) не принадлежит плоскости треугольника \(ABC\) и равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки \(D \) на плоскость треугольника является точка \(O\) . Необходимо доказать, что точка \(O\) является центром вписанной окружности данного треугольника.

Доказательство:

• \(OM\)
• \(OK\)
• \( DM\perp AB \)
• \(DM=DN=DK\)
• \(OM=ON=OK\)

Выполни дополнительные построения из точки \(O\) : перпендикуляры \(OM,ON,OK\) соответственно на прямые \(AB,AC,BC\) и соедини точку \(D\) с \(M,N,K\) . Тогда отрезок [ ] является проекцией наклонной \(DM\) и по теореме о трёх перпендикулярах [ ]. Докажи самостоятельно, что \(DN \perp AC,DK \perp BC\) .

Следовательно, \(DM,DN,DK\) — расстояния до отрезков \(AB,AC,BC\) соответственно. По условию [ ].

Рассмотри прямоугольные треугольники \(DOM,DON,DOK\) . Докажи, что они равны. Из этого равенства следует [ ]. Итак, точка \(O\) принадлежит плоскости треугольника и расстояние от неё до всех сторон равны. Следовательно, точка \(O\) является центром вписанной окружности.