Задание

(Стр. 21) № 28 Сфера и треугольник.

Заполни пропуски в решении и запиши верный ответ

Все стороны треугольника ABC касаются сферы с центром O. Найди радиус сферы, если расстояние от её центра до плоскости ABC равно \dfrac{\sqrt{3}}{2} см, AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 7 см.

Решение.

Пусть M, N и P — точки касания сферы со сторонами треугольника ABC, OO_{1} — перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости ABC. Сечением сферы плоскостью ABC является окружность с центром O_{1}, вписанная в .

Найдём радиус этой окружности. С одной стороны, S_{ABC}=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}= = (см^{2}).

С другой стороны, S_{ABC}=pr, где p — , а r — . Поэтому \dfrac{15\sqrt3 }{4}= , откуда r = .

Так как OO_{1} \perp ABC, то треугольник OO_{1}M (\angle O_{1} = 90^\circ, OO_{1} = см, O_{1}M = см), поэтому R = OM = = см.

Ответ: см.