Задание

Заполни пропуски в решении и запиши ответ

Реши уравнение \log _2(1-x)=3-\log _2(3-x)

Решение. Перенесём логарифм из правой части в левую: \log _2(1-x)+\log _2(3-x)=3. Предположим, что x — такое число, при котором равенство является верным, т. е. x — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство \log _2((1-x)(3-x))=3.

1-x 0 и 3-x 0 — объединяя данные неравенства, получим, что корни уравнения x\lt . Из равенства по определению логарифма получаем (1-x)(3-x) 8, то есть x^2-4x =0. Корни данного уравнения найдём по теореме Виета и расположим по возрастанию: и . Так как корни уравнения должны удовлетворять условию x\lt , то уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .