Заполни пропуски

Пример \(6\) . \(2\) .

Сравни \(\sqrt3+\sqrt7\) и \(2+\sqrt6\) .

Решение.

В данном примере \(\sqrt3 \lt 2\) , \(\sqrt7 \gt \sqrt6\) . Невозможно применить свойство неравенств.

Примем

\(\sqrt3+\sqrt7=a\) .

\(2+\sqrt6=b\) .

Предположим, \(a \gt b\) .

Отсюда \(a^2 \gt b^2\) ;

\((\sqrt3+\sqrt7)^2 \gt (2+\sqrt6)^2\) ;

\(3+2\sqrt{21}+7 \gt 4+12\sqrt6+6\)

\(10+2\sqrt{21} \gt 10+12\sqrt6\)

\(\sqrt{21} \gt\) [ ], что неверно. Пришли к противоречию.

Следовательно, \(a\) [ \(\lt\) | \(\gt\) ] \(b\) .

\(\sqrt3+\sqrt7\) [ \(\lt\) | \(\gt\) ] \(2+\sqrt6\) .