Подготовься к итоговой работе, выполнив 3 этапа
Многочлены..........
Определи, на какой бином можно разделить многочлен без остатка.
Тут нам в помощь теорема Безу: если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Решим уравнение \(x^3-3x^2+x-3=0\) .
Свободный член (слагаемое без \(x\) ) в многочлене: \(a\_0=-3\) .
Действуем по теореме Безу. Выпишем все делители свободного члена:
\(1\) ; \(-1\) ; \(3\) ; \(-3\) .
Проверим, есть ли среди этих чисел корень уравнения. Для этого достаточно подставить эти числа вместо \(x\) . Если при этом получим ноль, то данное число — корень.
Итак, проверь и выбери, какие из делителей свободного члена являются корнями уравнения:
- \(x=1\) , проверяем \(1^3-3\cdot 1^2+1-3=-4\ne 0\)
- \(x=-1\)
- \(x=3\)
- \(x=-3\)
Очевидно, только \(x=3\) является корнем уравнения. Значит, многочлен можно без остатка разделить на \((x-3)\) .
Тогда исходное уравнение примет вид:
\((x^2+1)(x-3)=0\) ;
\(x^2+1=0\) или \(x-3=0\) .
Первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет ожидаемый корень \(x=3\) .
Вспомни теорию
Составь и заполни таблицу.
Сначала составляем таблицу, в верхней строке которой будут расположены коэффициенты нашего многочлена.
Составим таблицу для многочлена \(P(x)=5x^6-3x^2+3\) . Определим коэффициенты многочлена и запишем их в таблицу. Это многочлен \(6\) -й степени, поэтому коэффициентов будет \(7\) : при каждой из степеней \(x\) , включая свободный член. Если какой-то степени нет в записи многочлена, то это означает, что коэффициент равен \(0\) .
Затем добавляем в нашу таблицу вторую строку, у которой будет дополнительный столбец слева. Туда запишем корень многочлена, образующий бином, на который мы собираемся делить.
Составим таблицу для многочлена \(x^3-3x^2+x-3\) .
Теперь заполняем пустые ячейки во второй строке. «Фишка» в том, что там окажутся коэффициенты нового многочлена — частного от деления исходного многочлена на бином.
Итак, во вторую ячейку просто записываем число, стоящее над пустой ячейкой.
Чтобы заполнить следующую ячейку, берём корень, умножаем его на имеющийся коэффициент и прибавляем к полученному числу то, которое стоит над пустой ячейкой. Эту процедуру повторяем, пока не заполнятся все ячейки во второй строке. Звучит всё это пугающе, но не сдаёмся.
Разбери решение
Определи, на какой бином можно разделить многочлен без остатка.
Тут нам в помощь теорема Безу: если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Решим уравнение \(x^3-3x^2+x-3=0\) .
Свободный член (слагаемое без \(x\) ) в многочлене: \(a\_0=-3\) .
Действуем по теореме Безу. Выпишем все делители свободного члена:
\(1\) ; \(-1\) ; \(3\) ; \(-3\) .
Проверим, есть ли среди этих чисел корень уравнения. Для этого достаточно подставить эти числа вместо \(x\) . Если при этом получим ноль, то данное число — корень.
Итак, проверь и выбери, какие из делителей свободного члена являются корнями уравнения:
- \(x=1\) , проверяем \(1^3-3\cdot 1^2+1-3=-4\ne 0\)
- \(x=-1\)
- \(x=3\)
- \(x=-3\)
Очевидно, только \(x=3\) является корнем уравнения. Значит, многочлен можно без остатка разделить на \((x-3)\) .
Тогда исходное уравнение примет вид:
\((x^2+1)(x-3)=0\) ;
\(x^2+1=0\) или \(x-3=0\) .
Первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет ожидаемый корень \(x=3\) .
Попробуй сам