Задание

Ознакомься с решением

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Задана функция y = \sin 2x. Укажем промежутки: а) возрастания; б) убывания этой функции.

Решение.

Обозначив \alpha = 2x, рассмотрим функцию y = \sin \alpha, \alpha \in \R.

а) Функция y = \sin \alpha возрастает на промежутках \left[-\cfrac{\pi}{2}+2\pi n; \cfrac{\pi}{2}+2\pi n\right], где n \in \Z . Так как \alpha = 2x, то для x справедливы двойные неравенства -\cfrac{\pi}{2}+2\pi n \leqslant 2x \leqslant \cfrac{\pi}{2}+2\pi n или -\cfrac{\pi}{4}+\pi n \leqslant x \leqslant \cfrac{\pi}{4}+\pi n, где n \in \Z.

Таким образом, функция y = \sin 2x возрастает на промежутках \left[-\cfrac{\pi}{4}+\pi n; \cfrac{\pi}{4}+\pi n\right], где n \in \Z.

б) Функция y = \sin \alpha убывает на промежутках \left[\cfrac{\pi}{2}+2\pi n; \cfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right], где n \in \Z. Так как \alpha = 2x, то для x справедливы двойные неравенства \cfrac{\pi}{2}+2\pi n \leqslant 2x \leqslant \cfrac{3\pi}{2}+2\pi n или \cfrac{\pi}{4}+\pi n \leqslant x \leqslant \cfrac{3\pi}{4}+\pi n, где n \in \Z.

Таким образом, функция y = \sin 2x убывает на промежутках \left[\cfrac{\pi}{4}+\pi n; \cfrac{3\pi}{4}+\pi n\right], где n \in \Z.

Ответ: промежутки возрастания: \left[-\cfrac{\pi}{4}+\pi n; \cfrac{\pi}{4}+\pi n\right], где n \in \Z; промежутки убывания: \left[\cfrac{\pi}{4}+\pi n; \cfrac{3\pi}{4}+\pi n\right], где n \in\Z.