Задание

Ознакомься с примером

Справочные материалы

Пусть k — данное натуральное число. Справедливы следующие утверждения:

1. Если в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) неотрицательны, то на множестве M равносильны неравенства \nobreak{f(x)\lt g(x)} и \nobreak{(f(x))^{2k}\lt (g(x))^{2k}}.

2. Если в каждой точке множества M функция \phi(x) определена и положительна, то на множестве M равносильны неравенства f(x)\lt g(x) и \nobreak{f(x)\phi(x)\lt g(x)\phi (x)}.

3. Если в каждой точке множества M определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.), то, применив эту формулу при решении неравенства, получим неравенство того же знака, равносильное исходному на множестве M.

Решим неравенство

\cfrac{x^2}{1-\cos \pi x}\lt \cfrac{3-2x}{1-\cos \pi x}. (1)

Решение. Все решения неравенства (1) содержатся в множестве тех x, для каждого из которых 1-\cos \pi x\ne 0, т. е. содержатся в множестве M — всех x\ne 2k, k\in \Z. В каждой точке множества M функция \nobreak{\phi (x)=1-\cos \pi x} определена и положительна, поэтому по утверждению 2 неравенство (1) равносильно на множестве M неравенству

x^2\lt 3-2x, (2)

все решения которого составляют промежуток (-3;1). Из этих чисел множеству M принадлежат все x из промежутков (-3;-2), (-2;0) и (0;1). Следовательно, неравенство (1), равносильное на множестве M неравенству (2), имеет те же решения.

Ответ: (-3;-2)\cup (-2;0)\cup (0;1).