Задание

Ознакомься с примером

Реши уравнение {|x^2 - 4| + |x^2 \mathrlap{\:-}} {-9| = 2x + 11}. (1)

Решение.

Сначала решим уравнения x^{2}-4=0 и x^{2}-9=0 и отметим на координатной оси полученные корни 2 и -2, 3 и -3. Получим пять промежутков (-\infty ;-3], (-3 ;-2), [-2 ; 2], (2 ; 3), [3 ;+\infty).

Решим уравнение (1) на каждом из этих промежутков, объединяя те из них, на которых знаки функций одинаковы.

1) На множестве M_{1}=(-\infty ;-3] \cup[3 ;+\infty) получаем, что {\left|x^{2}-4\right|\mathrlap{\:=}} {=x^{2}-4} и \left|x^{2}-9\right|=x^{2}-9, поэтому на этом множестве уравнение (1) равносильно уравнению {x^{2}-4\mathrlap{\:+}} {+x^{2}-9=2 x+11}, имеющему два корня: x_{1}=4 и x_{2}=-3. Так как оба числа x_{1} и x_{2} принадлежат множеству M_{1}, то уравнение (1) на множестве M_{1} имеет два корня: x_{1} и x_{2}.

2) На множестве M_{2}=(-3 ;-2) \cup(2 ; 3) уравнение (1) равносильно уравнению {x^{2}-4-x^{2}+9=2 x\mathrlap{\:+}} { + 11}, имеющему единственный корень -3. Так как -3 \notin M_{2}, то уравнение (1) на этом множестве не имеет корней.

3) На промежутке [-2; 2] уравнение (1) равносильно уравнению \nobreak{-x^{2}+4-x^{2}+9=2} x+11, имеющему два корня: x_{3}=\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2} и \nobreak{x_{4}=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}. Так как оба числа x_{3} и x_{4} принадлежат промежутку [-2; 2], то уравнение (1) нa этом промежутке имеет два корня: x_{3} и x_{4}.

Объединяя все найденные корни уравнения (1), получаем, что это уравнение имеет четыре корня: x_{1}, x_{2}, x_{3} и x_{4}.

Ответ: -3; 4; \cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}; \cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.