Задание

Ознакомься с примером решения

Справочные материалы

Cправедливы следующие утверждения:

4. Если в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) положительны, то при a\gt 0 и a\ne 1 на множестве M равносильны уравнения

\log_a f(x)=\log_a g(x) и f(x)=g(x).

5. Если в каждой точке множества M функция \phi (x) определена, то на множестве M равносильны уравнения

f(x)+\phi (x)=g(x)+\phi (x) и f(x)=g(x).

При решении уравнений часто приходится применять несколько преобразований.

Решим уравнение

\log_x (16x^2-1)=\log_x (x^6-1). (1)

Решение.

Все корни уравнения (1) содержатся в множестве тех x, для каждого из которых x\gt 0, x\ne 1, 16x^2-1\gt 0, x^6-1\gt 0, т. е. содержатся в множестве M=(1;+\infty).

В каждой точке множества M определены обе части формул \log_x (16x^2-1)=\dfrac{\lg (16x^2-1)}{\lg x} и \log_x (x^6-1)=\dfrac{\lg (x^6-1)}{\lg x}, поэтому уравнение (1) равносильно на множестве M уравнению

\dfrac{\lg (16x^2-1)}{\lg x}=\dfrac{\lg (x^6-1)}{\lg x}. (2)

В каждой точке множества M функция \phi (x)=\lg x определена и отлична от нуля, поэтому уравнение (2) равносильно на множестве M уравнению

\lg (16x^2-1)=\lg (x^6-1). (3)

Так как в каждой точке множества M обе функции f(x)=16x^2-1 и g(x)=x^6-1 положительны, то по утверждению 4 уравнение (3) равносильно на множестве M уравнению

16x^2-1=x^6-1, (4)

имеющему три корня: x_1=0, x_2=2 и x_3=-2. Из них лишь x_2 принадлежит множеству M. Следовательно, уравнение (4) имеет на этом множестве единственный корень x_2. Поэтому равносильное ему на множестве M уравнение (1) имеет тот же корень.

Ответ: 2.