Задание

Ознакомься с примером решения

Реши уравнение \log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x). (1)

Решение. Область допустимых значений уравнения (1) — множество E точек x таких, что x \lt 1, x \ne 0, \nobreak{x \lt 3}, x \ne 2, откуда находим

x \lt 1, x \ne 0. \quad (2)

Применяя формулу \log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a} и полагая \log_{1-x}(3-x)=t, получаем уравнение t-\dfrac{1}{t}=0, t^2=1, откуда t_1 = 1, t_2 = -1. Следовательно, на множестве E уравнение (1) равносильно совокупности уравнений \log_{1-x}(3-x)=1, \log_{1-x}(3-x)=-1. Первое из них не имеет корней, так как 1 - x \ne 3 - x. Второе уравнение равносильно на множестве E уравнению 1-x=\dfrac{1}{3-x} или \nobreak{x^2 - 4x + 2 = 0}, откуда x_1=2+\sqrt{2}, x_2=2-\sqrt{2}. Из чисел x_1, x_2 только x_2 удовлетворяет условиям (2) и является корнем уравнения (1).

Ответ: x=2-\sqrt{2}.