Задание

Ознакомься с примером решения

Реши неравенства:

1) \log_5 (x + 8) \gt 2;

2) \log_5 (x + 8) \lt 2;

3) \log_{\frac{1}{3}} (x+15) \geqslant \log_{\frac{1}{3}} (x-1)-2.

Решение.

1) Так как 2 = \log_5 25, то данное неравенство можно записать в виде \nobreak{\log_5 (x + 8) \gt \log_5 25}. Согласно свойству возрастания функции \nobreak{y = \log_5 x} данное неравенство равносильно неравенству x + 8 \gt 25.

Ответ: x \gt 17.

2) Запишем данное неравенство в виде

\log_5 (x + 8) \lt \log_5 25.

Это неравенство равносильно системе неравенств

\begin{cases} x+8 \gt 0 , \\ x+8 \lt 25 , \end{cases}

откуда \begin{cases} x \gt -8 , \\ x \lt 17 . \end{cases}

Ответ: -8 \lt x \lt 17.

3) Данное неравенство, записанное в виде

\log_{\frac{1}{3}} (x+15)-\log_{\frac{1}{3}} (x-1) \geqslant \log_{\frac{1}{3}}9,

равносильно системе неравенств

\begin{cases} x+15 \gt 0 , \\ x-1 \gt 0 , \\ \log_{\frac{1}{3}}\dfrac{x+15}{x-1} \geqslant \log_{\frac{1}{3}}9. \end{cases}

Эта система равносильна каждой из следующих систем:

\begin{cases} x \gt -15 , \\ x \gt 1 , \\ \cfrac{x+15}{x-1} \leqslant 9 ; \end{cases} \begin{cases} x \gt 1 , \\ x+15 \leqslant 9 (x-1); \end{cases} \begin{cases} x \gt 1 , \\ 8x \geqslant 24 . \end{cases}

Ответ: x \geqslant 3.