Задание

Ознакомься с примером решения

Произведение трёх последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равно 343. Найдём наибольшую сумму этих трёх членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.

Решение.

Обозначим три последовательных члена геометрической прогрессии через \dfrac{a}{q}, a, aq, где q — знаменатель этой прогрессии. По условию задачи \dfrac{a}{q}\cdot a\cdot aq=343, откуда a=7. Тогда сумма трёх членов прогрессии равна \dfrac{7}{q}+7+7q=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7.

Так как для любого отрицательного числа q справедливо неравенство q+\dfrac{1}{q}\leqslant -2, причём q+\dfrac{1}{q}=-2 лишь при q=-1, то функция f(q)=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7, q\lt 0, достигает наибольшего значения в единственной точке q=-1.

Cледовательно, наибольшая искомая сумма равна f(-1)=7\left( q+\dfrac{1}{q}\right) +7=-7.

Ответ: -7.