Задание

Ознакомься с примером решения

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Пример 2. Решим неравенство

5\sin ^7x+2\cos ^{11}4x\geqslant 7. (5)

Решение. Если число x_0 — решение неравенства (5), то справедливо числовое неравенство

5\sin ^7x_0+2\cos ^{11}4x_0\geqslant 7. (6)

Из неравенства (6) следует, что \sin x_0=1. Действительно, если было бы справедливо неравенство \sin x_0\lt 1, то из неравенства (6) следовало бы, что \cos 4x_0\gt 1, что, естественно, невозможно. Но если \sin x_0=1, то из неравенства (6) следует, что \cos 4x_0=1. Следовательно, любое решение неравенства (5) является решением системы

\begin{cases} \sin x=1, \\ \cos 4x=1. \end{cases} (7)

Легко видеть, что любое решение системы (7) является решением неравенства (5). Следовательно, неравенство (5) равносильно системе (7).

Первое уравнение системы (7) имеет единственную серию решений x_k=\dfrac{\pi }{2}+2\pi k, k\in \Z. Каждое из чисел x_k удовлетворяет второму уравнению системы (7), следовательно, система (7), а значит, и равносильное ей неравенство (5) имеют единственную серию решений x_k.

Ответ: \dfrac{\pi }{2}+2\pi k, k\in \Z.