Задание

Ознакомься с примером

Докажи, что при любом натуральном n выполняется равенство

\sin \cfrac{\pi}{6} + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} \right)+ … + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} (n-1) \right) = 2 \sin^2 \cfrac{\pi n}{6} (1).

Решение.

Докажем равенство методом математической индукции.

1) При n = 1 равенство (1) верно: \sin \cfrac{\pi}{6}=2\sin ^2 \cfrac{\pi \cdot 1}{6}.

2) Докажем, что если равенство (1) верно для некоторого натурального n, то оно верно и для n + 1, т. е. верно равенство

\sin \cfrac{\pi}{6} + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} \right)+ … + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} (n-1) \right) + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi n}{3} \right) = 2 \sin^2 \cfrac{\pi (n + 1)}{6} (2).

Прибавляя к обеим частям верного по предположению равенства (1)

\sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi n}{3} \right), получаем верное равенство \sin \cfrac{\pi}{6} + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} \right)+ … + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3} (n-1) \right) + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi n}{3} \right) = 2 \sin^2 \cfrac{\pi n}{6} + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi n}{3} \right) (3).

Преобразуем правую часть равенства (3):

2 \sin^2 \cfrac{\pi n}{6} + \sin \left(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi n}{3} \right) = 1- \cos \cfrac{\pi n}{3} + \sin \left(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\pi}{3} +\cfrac{\pi n}{3} \right) = 1- \cos \cfrac{\pi n}{3} + \cos \cfrac{\pi - \pi n}{3}= 1 + 2 \sin \cfrac{\pi n-\pi n +\pi}{6} \cdot \sin \cfrac{\pi n+\pi n -\pi}{6} = 1 +\sin \left( \cfrac{\pi n}{3} - \cfrac{\pi}{6} \right) = 1- \sin \left( \cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\pi (n+1)}{3} \right) = 1 -\cos \cfrac{\pi (n+1)}{3} = 2\sin ^2 \cfrac{\pi (n+1)}{6}.

Таким образом, из справедливости равенства (3) следует справедливость равенства (2). Следовательно, равенство (1) верно для любого натурального n.