Основанонаупр.1стр.13

Заполнипропускиврешенииизапишиответы

Выясни, являетсяличётной, нечётнойилинеявляетсяничётной, нинечётнойкаждаяфункция.

1. \(y=x^{3} - \dfrac{x}{2}+\sin{x}\) .
2. \(y=x^{3} - \sin{x}+ 1\) .
3. \(y=x^{2}+\cos{3x}\) .
4. \(y=\dfrac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}}\) .
5. \(y=\dfrac{1+\sin{x}+2\sin{^{2}x}+3\sin{^{3}x}+\cos{^{3}x}}{\sin{x}+1}\) .

Решение.

1)Функцияопределенанамножестведействительныхчисел.Найдём \(y(-x)=(-x)^{3}-\dfrac{-x}{2}+\sin{-x}= - \left(x^{3} - \dfrac{x}{2}+\sin{x}\right)=-y(x)\) .

Ответ:функция[ ].

2)Областьопределенияфункции — множество[ ].Сравним \(y(-x)\) и \(y(x)\) , \(y(-x)\) и \(y(x)\) : \(y(-x)=(-x)^{3}-\sin(-x)+1=-x^{3}+\sin{x}+1\) , \(-y(x)=-x^{3}+\sin{x} - 1, y(-x)\not=y(x), y(-x)\not=-y(x)\) .

Ответ:функциянеявляетсяничётной, нинечётной.

3)Длякаждого \(x\) изобластиопределения \(R\) выполняетсяравенство \(y(-x)=(-x)^{2}+\cos3(-x)=x^{2}+\cos3x=y(x)\) .

Ответ:функция[ ].

4)Областьопределенияфункции — множествочисел, длякоторых \(\sinx\not=x\) \((x\not=0)\) .Имеем \(y(-x)=\dfrac{(-x)+\sin(-x)}{(-x)-\sin(-x)}=\dfrac{-x-\sinx}{-x+\sinx}=\dfrac{x+\sinx}{x - \sinx}=y(x)\) .

Ответ:функция[ ].

5)Заметим, чтовнекоторыхслучаяхисследованиефункцииначётностьможноупростить.Например, еслифункцияопределенавточке \(x\_{0}\) инеопределенавточке \(-x\_{0}\) , тоонанеможетбытьничётной, нинечётной.Вданномслучае \(y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) имеетсмысл, а \(y\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\) смысланеимеет.

Ответ:функция[ ]ничётной, нинечётной.