Задание

Основано на упр.38, стр.28

Выбери верные варианты и заполни пропуски

Докажи, что через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит сфера, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть данные точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Через любые три из них, например, через точки A, B и C, проведём плоскость \alpha и в ней отметим точку O_{1} — центр окружности, .

Множество всех точек пространства, равноудалённых от точек A, B и C, есть прямая l, проходящая через окружности, описанной около треугольника , и перпендикулярная плоскости .

Множеством всех точек пространства, равноудалённых от двух точек, например A и D, является плоскость b, перпендикулярная отрезку и проходящая через его .

Докажем, что прямая l пересекается с плоскостью \beta. Предположим, что прямая l не пересекает плоскость \beta. Тогда l \perp \beta либо l \subset \beta, и так как l\perp , то \beta \perp . Отсюда следует, что AD \subset (поскольку AD \perp и A \in ), а значит, все данные точки A, B, C и D лежат в , что противоречит условию.

Итак, прямая l пересекает плоскость \beta в некоторой точке O. Точка O равноудалена от A, , B, D и, следовательно, является центром сферы, проходящей через точки A, B, C, .

Единственность сферы, проходящей через точки A, B, C и D, следует из того, что центр такой сферы лежит как на прямой l, так и в плоскости \beta и, следовательно, совпадает с точкой O.