Задание

Основано на упр. 5, стр. 7.

Заполни пропуски в решении

Найди остаток от деления числа а = 2^{187} + 3^{74} + 7^{257} на 10.

Решение. Задачу можно сформулировать так: найти последнюю цифру числа a.

В главе II учебника (§2, задача 5) было установлено, что последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k повторяются через 4. Это означает, что если k = 4p + r, \space p \in N, r — остаток от деления k на 4 (r=1, 2, 3), то последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k такие же, как у чисел 2^r, \space 3^r, \space 7^r, а если r=0 (k делится на 4), то последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k такие же, как у чисел 2^4, \space 3^4, \space 7^4.

Так как остатки от деления на чисел 187, 74 и 257 равны соответственно 3, 2 и 1, то последние цифры чисел 2^{187}, \space 3^{74} и 7^{257} равны последним цифрам чисел 2^3, \space 3^2 и 7^1, т.е. это цифры , и соответственно, а последняя цифра числа a — последняя цифра суммы 8+9+7, т.е. это цифра . Следовательно, остаток от деления числа a на 10 равен .